유선과 유관

유선(streamline)과 유관(stream tube)

 유선은 유체의 흐름에 있어서 모든 점에서 속도 벡터의 방향을 갖는 연속적인 선으로 정의된다. 따라서 이렇게 정의된 유선의 수직방향으로 항상 속도 성분이 0이 되며, 유선을 가로지르는 흐름은 존재할 수 없게 된다.

 

 

 

유선방정식에 대한 내용

 이러한 유선은 유체 흐름을 정성적 또는 정량적인 방법으로 해석하는 데 있어서 중요한 역할을 하게 된다. 그림 8.1은 비행기 날개와 실린더의 단면 주위에서 일어나는 유체 흐름의 유선의 모양을 보여주고 있다.

그림 8.1 익형과 실린더에서의 그림

그림에서 보는 바와 같이 유선은 흐름의 상태를 눈으로 볼 수 있게 하여 줄 뿐만 아니라 유속의 빠르고 느린 구역을 알 수 있게 하여준다. 

 유체의 입자는 언제나 유선을 따라 움직이게 되므로 어떤 점에서 유체 입자의 변위는 δx, δy, δz의 성분을 갖게 되고 한편 속도 벡터는 x, y, z방향에 대하여 각 u, v, w의 성분을 갖는다. 따라서 이들 변위와 속도의 성분 간에는 다음과 같은 관계를 갖게 된다.

변위와 속도의 성분 계산식

변위의 값에 대하여 극한을 취하면

유선방정식

위의 방정식을 유선방정식이라고 한다. 따라서 임의의 연속된 선으로서 방정식을 만족시키면 유선이 된다.

 임의의 두 유선 사이에서 유체의 평균속도를 알게 되면 이 두 유선구간에서 흐르는 유량 Δq는 평균속도 u와 유선 간의 간격 h를 곱함으로써 얻게 된다.

 여기서 Δq는 유량으로 매초 당에 흐르는 유체의 체적을 뜻한다. 어떤 작은 폐곡선을 통과하는 여러 개의 유선으로 만들어지는 한 개의 관을 유관(stream tube)이라고 한다. 그림 8.2에서 공간상에 위치할 뿐만 아니라 유선의 정의에 따라 이 유관의 벽을 뚫고 지나가는 유체의 흐름은 존재할 수 없다. 따라서 이러한 유관의 벽면은 비록 가상적인 경계면이지만 하나의 고체의 벽면처럼 유체의 출입이 있을 수 없는 경계면으로 취급할 수 있다.

그림 8.2 유관